Phép quay trong
toán học là một khái niệm bắt nguồn từ
hình học. Một phép
quay bất kỳ là một sự
chuyển động của một không gian nhất định nhưng bảo toàn ít nhất một
điểm. Chẳng hạn, nó có thể mô tả chuyển động của một
vật rắn quanh một điểm cố định. Phép quay có thể có
dấu (giống với dấu của
góc): phép quay theo chiều kim đồng hồ được biểu diễn bởi một số âm còn phép quay ngược chiều kim đồng hồ được biểu diễn bởi một số dương. Phép quay là phân biệt với các chuyển động khác ở chỗ:
phép tịnh tiến không giữ điểm cố định, và các
phép phản xạ có toàn bộ một
phẳng (n − 1) chiều các điểm cố định trong không gian n
chiều.Một cách toán học, phép quay là một
ánh xạ. Tất cả các phép quay quanh một điểm cố định lập thành một
nhóm dưới
phép hợp ánh xạ được gọi là
nhóm quay. Tuy nhiên trong
cơ học và tổng quát hơn là trong
vật lý, khái niệm này thường được hiểu là một phép biến đổi tọa độ (quan trọng hơn, là phép biến đổi của một
cơ sở trực chuẩn), do với một chuyển động bất kỳ của một vật thì sẽ có một biến đổi nghịch đảo nếu được áp dụng lên
hệ quy chiếu sẽ khiến cho vật giữ nguyên vị trí. Chẳng hạn, trong không gian hai chiều, sự quay một vật theo chiều kim đồng hồ quanh một điểm với các trục tọa độ cố định là tương đuơng với việc quay các trục tọa độ quanh điểm đó trong khi vật được giữ cố định. Hai loại phép quay này được gọi là các phép
biến đổi chủ động và thụ động.
[1][2]Nhóm quay là một
nhóm Lie gồm các phép quay quanh một
điểm cố định. Điểm cố định (chung) này được gọi là
tâm của phép quay và thường được đồng nhất với
gốc tọa độ. Nhóm quay là một
ổn định điểm trong một nhóm rộng hơn gồm các
chuyển động bảo toàn định hướng.Đối với một phép quay cụ thể:Một biểu diễn của các phép quay là một hình thức hóa cụ thể, có thể là hình thức hóa đại số hoặc hình học, được sử dụng để tham số hóa một ánh xạ quay. Ý nghĩa của khái niệm này theo một cách nào đó là đối lập với ý nghĩa trong
lý thuyết nhóm.Phép quay của các
không gian afin và của các
không gian vectơ tương ứng không phải lúc nào cũng được phân biệt rõ ràng. Khái niệm đầu đôi khi được gọi là phép quay afin (tuy rằng khái niệm này dễ gây nhầm lẫn), trong khi khái niệm sau được gọi là phép quay vectơ.